By Garrett Birkhoff

This vintage, written through younger teachers who grew to become giants of their box, has formed the certainty of recent algebra for generations of mathematicians and continues to be a worthy reference and textual content for self examine and school classes.

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Bei Weg 1 kann man die Primzahlen enaktiv oder ikonisch einführen, während bei Weg 3 derselbe Grundgedanke rein auf der Zahlenebene verfolgt wird. Beide Wege basieren auf der Zerlegung natürlicher Zahlen in Produkte zweier Faktoren. D 1 n/, für andere Zahlen gibt es daneben noch weitere Produktdarstellungen. Auf der enaktiven oder ikonischen Ebene hat dies zur Folge, dass wir bei manchen Anzahlen von Plättchen im Wesentlichen (bis auf Drehung) nur ein Rechteck bilden können, bei anderen Anzahlen dagegen mehrere.

R r1 /. Wegen r1 Ä r; r1 ; r 2 N0 ; 0 Ä r < b und 0 Ä r1 < b folgt 0 Ä r r1 < b. Die einzige Zahl, die b im Zahlenabschnitt von 0 (einschließlich) bis b (ausschließlich) teilt, ist die Zahl Null, also gilt r r1 D 0 und damit r D r1 . q1 q/ b. Wegen b 2 N folgt hieraus q1 q D 0, also q1 D q. Die beiden Darstellungen stimmen also völlig überein. Wegen der durch 1. sichergestellten Existenz gibt es daher zu a; b 2 N stets genau ein Paar q; r 2 N0 , sodass a D q b C r mit 0 Ä r < b gilt. 9 ist neben dem konstruktiv durch die Beschreibung eines Algorithmus erbrachten Existenzbeweis zusätzlich noch der durchgeführte Eindeutigkeitsbeweis notwendig.

1. 2. Insbesondere betrachten wir im Folgenden im Regelfall nur positive Vielfache natürlicher Zahlen. Betrachten wir ganzzahlige Vielfache – dies geschieht z. B. a/. 2/ D f: : : ; 4; 2; 0; 2; 4; : : :g. 1 Veranschaulichung durch Pfeildiagramme Betrachten wir die Teilbarkeits- und Vielfachenrelation nicht nur zwischen zwei gegebenen Zahlen, sondern in einer umfangreicheren Zahlenmenge, so können wir sie durch Pfeildiagramme veranschaulichen. Hierzu ordnen wir jeder Zahl der Menge eindeutig einen Punkt der Zeichenebene zu.

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