By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quick dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quick unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Dabei ist klarzustellen, dass damit nicht etwa die Anzahl der verschiedenen Lösungen gemeint ist, denn offensichtlich hat eine Gleichung wie zum Beispiel xn = 0 nur eine einzige Lösung, nämlich 0. Mit der „Anzahl der Lösungen“ ist vielmehr die Anzahl der Linearfaktoren gemeint. Wir fragen also nach der Anzahl von Linearfaktoren, die sich bei einer Gleichung n-ten Grades mindestens abspalten lassen, wobei durchaus einige der Linearfaktoren identisch sein können – man spricht dann von so genannten mehrfachen Lösungen25.

Geometrisch kann man sich die Menge aller komplexen Zahlen damit als Ebene vorstellen, ganz analog dazu, wie der Zahlenstrahl ein geometrisches Äquivalent zur Menge der reellen Zahlen bildet. Die Idee vor Augen, dass ein Zahlenpaar (a, b) nach Abschluss der Definitionen als a + b −1 interpretiert werden soll, definiert man die mathematischen Operationen folgendermaßen: ( a , b ) + ( c, d ) = ( a + c , b + d ) ( a , b) ⋅ ( c, d ) = ( ac − bd , bc + ad ) Die Umkehroperationen werden auf Basis der so genannten inversen Elemente erklärt, das heißt, die Subtraktion ist als Addition mit dem negierten Wert definiert und die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert.

Bersetzung der Aus- gabe von 1545 mit Ergänzungen der Ausgaben von 1570 und 1663, Cambridge (Massachusetts) 1968, Chapter XXXIX, Problem V. 22 Girolamo Cardano (siehe Fußnote 21), Chapter I, S. 9. J. 1007/978-3-658-02262-4_3, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013 26 Biquadratische Gleichungen 2z − p 2 z 2 − r = −q erfüllt sein muss. Durch beidseitiges Quadrieren erhält man aus dieser Bedingung zunächst ( 2 z − p )( z 2 − r ) = q2 4 und damit schließlich die kubische Gleichung z3 − p 2 pr q 2 z − rz + − = 0.

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