By Dr. phil. Günter Simm, Dr. rer. nat. Heinz H. Gonska (auth.)

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Entwicklungslinien der Fertigungstechnik in der Metallbearbeitung. Stand und Aussichten der schweißtechnischen Fertigungsverfahren

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Wir ordnenjedem x EM diejenige Klasse aus 8(M) zu, in der x als Element enthalten ist. Wegen der paarweisen Disjunktheit der zu 8(M) gehorigen Klassen ist diese Zuordnung rechtseindeutig und somit eine Abbildung (kanonische Abbildung) von Min 8(M) (sogar auf 8(M». Bezeichnen wir diese Abbildung mit h, so ist 8 (M) eine zu h gehorige Partition von M. Durch 8(M) ist auch die geforderte Existenz einer Menge N, in die M abgebildet werden soll, nachgewiesen. Fiir hom 0 m 0 r ph e Abbildungen zwischen Gruppoiden ist die Beziehung zwischen Abbildung und Partition noch enger, da auch zwischen Partition und Verkniipfung ein Zusammenhang in Form einer gewissen Vertraglichkeit besteht.

C) (af 0 bf) (c) = af (bf (c)) = af(b * c) = a * (b * c) fiir aile a, b, c E M. Aus a), b), c) folgt somit: (ll * b) * c = a * (b * c) fiir aile a, b, c E M; d. h. (M,*) ist ein assoziatives Gruppoid. 1st umgekehrt (M, *) ein assoziatives Gruppoidund heine Abbildung von Min MM mit hem) = mf und mf(x) = m * x fiir aile m, x E M, so folgt aus den Gleichungen b) und c) und der Assoziativitlit von * in M sofort die Giiltigkeit der Gleichung h (a * b) = a. bf = af 0 bf = h(a) 0 h(b); d. h. h ist verkntipfungstreu und somit ein Homomorphismus.

Da NeG ist, gilt die Assoziativitat von 0 in N. 3. GemaB Definitiqn von N gilt: e E N. 4. 1st g EN und g-I das in G inverse Element von g, so folgt aus g-1 == g-1 und e == g die Beziehung g-1 = g-1 0 e == g-1 0 g = e. Hieraus ergibt sich g-1 EN. 1. bis 4. 36 die Behauptung. Diese Untergruppe (N, 0) von (G, 0) hat nun noch eine besondere Eigenschaft. Es gilt niimlich fill aIle g E N und aile a E G: a 0 goa -1 == e. Diese Behauptung ergibt sich aus a == a, g == e und a-I == a-I durch Verkniipfung der Kongruenzbeziehungen.

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