By Wolfgang Lück

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln nine bis thirteen werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

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Falls A = 0 ist, so nennen wir X einen CW -Komplex. Eine Abbildung f: (X, A) -+ (Y, B) von relativen CW -Komplexen heiflt zellular, falls f(Xn) ~ Y n fur alle nEZ, n 2: -1 gilt. Wir geben einige Erlauterungen zu dieser Definition. Falls (X, A) ein relativer CW-Komplex ist, ist X automatisch Hausdorffsch. 36 3 CW-Komplexe Die Direkte-Limes- Topologie (oder auch manchmal schwache Topologie genannt) auf X bezuglich der Filtrierung {Xn I nEZ, n ~ -I} ist dadurch definiert, dass C ~ X genau dann abgeschlossen ist, wenn en X n ~ X n fUr alle n E Z, n ~ 0 abgeschlossen ist.

Ein analoges Argument angewandt auf ein berandendes singulares (n + I)-Simplex liefert die Injektivitat. Urn den genauen Beweis zu erklaren, bedarf es einiger Vorbereitungen. h. von der Gestalt [V1, V2, ... 17). Fur v E ~q sei va das affine singulare (p + I)-Simplex [v,v1, ... ,vp+d. Sei Ap(~q; R) ~ C~ing(~q; R) der von den affinen singularen p-Simplices ~p -+ ~q erzeugte R- U ntermodul. Dann induziert a t--t va einen R- Homomorphismus v: Ap (~q; R) -+ Ap+1 (~q; R). Man rechnet fur ein affines singulares p-Simplex (J leicht nach, dass 8(v(J) = (J - v(8((J)) und insbesondere 8(va) E Ap(~q; R) gilt.

Untere Hemisphare gegebene Zelle. Wir mussen die Differentiale ausrechnen. Fur das erste Differential ergibt sich die Matrix (i =i ). U m die anderen Differentiale in Dimensionen 2 :S n :S d auszurechnen, mussen wir den Abbildungsgrad der folgenden Abbildungen bestimmen und f-: wobei sn-l ~ sn-l/s~-l ( Qn-I)-I ) Dn - I /s n - 2 ~ sn-l Q± der von Q± induzierte Homoomorphismus ist. Es gilt fUr x f+(x) = { 2)) f1-::2cos (1f. sin(7r'~) ~ , ... , Xn_l·sin(7r'~) ~ ,_ V l-x~ V I-x" (0, ... ,0,-1) (0, ...

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